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%               Rapport TN05
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\documentclass[10pt,twocolumn]{article}

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%               Packages
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\newcommand{\Om}{$\Omega$}
\newcommand{\F}{$\mathcal{F}$}

\def\R{\mbox{I\hspace{-.15em}R}}
\def\E{\mbox{I\hspace{-.15em}E}}
\def\N{\mbox{I\hspace{-.15em}N}}

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%               début du document
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\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Chapitre 1}
\subsection{Formule des probabilités totales}
$P(A)=\sum_{n\in I} P(A|A_n)P(A_n)$

\subsection{Formule de Bayes}
$P(A_n|A)=\displaystyle\frac{P(A|A_n)P(A_n)}{\sum_{i\in I} P(A|A_i)P(A_i)}$

$ \left( P(A_n|A)=\displaystyle\frac{P(A\cap A_n)}{P(A)}=\frac{P(A|A_n)P(A_n)}{P(A)}\right)$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{chapitre 2}
\subsection{Lois usuelles des v.a.d}
\subsubsection{Loi binomiale}
on répète $n$ épreuves de Bernouilli~:
$X\sim B(n,p)\Leftrightarrow p_X(k)=P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$

\subsubsection{Loi de poisson}
$X\sim P(\lambda)\Leftrightarrow P(X=x)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$

\subsubsection{Loi géométrique}
$X\sim G(p)\Leftrightarrow P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$

\subsection{Espérance, variance et moments}
\begin{itemize}
\item $\E[X]=\sum\limits_{x\in E}xP(X=x)$ si $\sum\limits_{x\in
E}|x|P(X=x)<\infty$
\item $\E[X^n]=\sum\limits_{x\in E}x^n P(X=x)$ est le moment d'ordre
$n$
\item $Var(X)=\E\left[(X-\E[X])^2\right]$
\item $\mu_r=\E\left[(X-\E[X])^r\right]$ est le moment centré d'ordre $r$
\end{itemize}
\subsubsection{Propriétés}
\begin{itemize}
\item $\E[aX+bY]=a\E[X]+b\E[Y]$
\item $\E[XY]=E[X]\E[Y]$ si $X$ et $Y$ sont indépendants
\item $\sigma(X)=\sqrt{Var(X)}$ est l'écart type
\item $Var(X) =E[X^2]-\left(E[X]\right)^2$
\item $Var(aX+b)=a^2 Var(X)$
\item $Var(X_1+\ldots X_n)=Var(X_1)+\ldots +Var(X_n)$ si $X_i$ indépendants
\end{itemize}
\subsubsection{Caractéristiques des lois usuelles}
\begin{tabular}{|c||c|c|}
\hline
Lois & Espérance & Variance\\
\hline
Bernouilli $B(p)$ & $p$ & $p(1-p)$\\
\hline
Binomiale $B(n,p)$ & $np$ & $np(1-p)$\\
\hline
Poisson $P(\lambda)$ & $\lambda$ & $\lambda$\\
\hline
Géométrique $G(p)$ & $1/p$ & $(1-p)/p^2$\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Fonctions génératrices}
$g(u)=\E\left[u^X\right]=\sum\limits_{n\in\N}p_n u^n$
\begin{itemize}
\item $\E[X]=g^\prime(1); Var(X)=
g^{\prime\prime}(1)+g^\prime(1)-(g^\prime(1))^2$

\item $g(u)$ est infiniment dérivable sur $]-1,1[$ et

\item $g^{(n)}(0)=p_nn!$

\item $g_{X+Y}(u)=\E\left[u^{X+Y}\right] = \E\left[u^X
u^Y\right]=\E\left[u^X\right]\E\left[u^Y\right]=g_X(u)g_Y(u)$
\end{itemize}

\begin{tabular}{|c||c|}
\hline
Lois & Fonction génératrice\\
\hline
Bernouilli $B(p)$ & $1-p+pu$\\
\hline
Binomiale $B(n,p)$ & $(1-p+pu)^n$\\
\hline
Poisson $P(\lambda)$ & exp$(-\lambda+\lambda u)$\\
\hline
Géométrique $G(p)$ & $(pu)/(1-(1-p)u)$\\
\hline
\end{tabular}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Chapitre 3}
\subsection{Espérance, variance, médiane}
$\E[X]= \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\ si\ \int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x)dx<+\infty$

variance : idem v.a.d ($\mu_2$)

On appelle médiane de la v.a.r $X$ tout réel $M$ qui satisfait~:
$P(X\geq M)\geq\frac{1}{2}\ et\ P(X\leq M)\geq\frac{1}{2}$

\begin{itemize}
\item $\E[aX+bY]=a\E[X]+b\E[Y]$
\item $Var(aX+b)=a^2 Var(X)$
\item $Var(X_1+\ldots X_n)=Var(X_1)+\ldots +Var(X_n)$ si $X_i$ indépendants
\end{itemize}

\subsection{Lois usuelles des v.a.r}
\subsubsection{Loi uniforme}
$f_X(x)=\displaystyle\frac{1}{b-a}1_{[a,b]}(x)$

$\E[X]=\frac{a+b}{2}, \E[X^2]=\frac{a^2+ab+b^2}{3}\ et\
Var(X)=\frac{(a-b)^2}{12}$

\subsubsection{Loi normal ou de Gauss}
$X\sim N(0,1)$ admet une densité $f$
définie par~:

$\forall x\in\R,
f_X(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\displaystyle\frac{x^2}{2}\right)$

Soit $Y$ une v.a.r telle que $Y=\sigma X+\mu (\mu\in\R\ et\
\sigma\in]0,+\infty])$ alors~:
$$\E[Y]=\sigma\E[X]+\mu=\mu\ et\ Var(Y)=\sigma^2Var(X)=\sigma^2$$
De plus~:
$$F_Y(x)=P(Y\leq
x)=P\left(X\leq\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=F_X\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$
donc~:
$$f_Y(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

Toutes v.a.r $Y$ admettant la densité $f_Y$ est dite normale de
moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$~; on note alors $Y\sim
N(\mu,\sigma^2)$. Réciproquement si $Y\sim
N(\mu,\sigma^2)$ alors $X=\displaystyle\frac{Y-\mu}{\sigma}\sim
N(0,1)$

Si $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$ et $Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ sont
indépendantes alors $X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$

\subsection{Fonctions génératrices des moments}
$M_X(t)=\E [\exp(tX)]=\int_R\exp(tx)f_X(x)dx$

\begin{itemize}
\item $M_X^{(n)}(0)=\E[X^n]$\\
Si $M_X$ est définie sur $[-a,a]$~:
\item $X$ possède des moments finis de tous ordres
\item $M_X(t)=\sum_{k=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{t^ k}{k!}\E[X^ k]$
\end{itemize}

\begin{tabular}{|c||c|}
\hline
Lois & f.g.m\\
\hline
Uniforme $U(a,b)$ & $\displaystyle\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$\\
\hline
Exponentielle $E(\lambda)$ & $\lambda/(\lambda-t)$\\
\hline
Normale $N(\mu,\sigma^2)$ & $\exp\left(\displaystyle(t^2\sigma^2)/2\right)+\mu t$\\
\hline
Gamma $\gamma(\alpha,\lambda)$ & $(\lambda/(\lambda-t))^\alpha$\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Sommes de 2 v.a.r}
$f_{X+Y}(t)=\int_R f_X(t-u)f_Y(u)du$

$F_{X+Y}(t)=\int_R F_X(t-u)f_Y(u)du$

$M_{X_1+X_2\ldots +X_n}(t)=M_{X_1}(t)M_{X_2}(t)\ldots M_{X_n}(t)$

\subsection{Inégalités}
\subsubsection{inégalité de Bienaymé-\v{C}ebic\v{e}v}
$P(|X-\E[X]| \geq \varepsilon)
\leq\displaystyle\frac{Var(X)}{\varepsilon^2}$

\subsubsection{inégalité de Cauchy-schwartz}
si les v.a.r $X$ et $Y$ possèdent des moments d'ordre 2 alors~:
$(\E [XY])^2\le\E[X^2]\E[Y^2]$

\subsubsection{inégalité de Jensen}
$\E [\varphi (X)] \ge \varphi(\E [(X)])$
si $\varphi$ est une fonction convexe sur \R

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Convergence stochastique}
\subsection{Convergence presque-sure}
$P\left(\omega\in\Omega;\lim_{n\rightarrow +\infty} X_n(\omega)=X(\omega)\right)=1$

Loi forte des grands nombres~:
On suppose que les v.a.r sont i.i.d. et qu'elles admettent une moyenne
$\mu=\E (X)$. Soit $S_n=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}$ Alors
$S_n\xrightarrow{p.s.}\mu$ quand $n\rightarrow +\infty$

\subsection{Convergence en probabilité}
$\lim_{n\rightarrow +\infty} P(|X_n-X|\ge \varepsilon)=0$

Loi faible des grands nombres~:
$S_n\xrightarrow{P}\mu$

\subsection{Convergence en loi}
$\lim_{n\rightarrow +\infty} F_n(x)=\lim_{n\rightarrow
+\infty}P(X_n\le x)=F(x)$
\subsubsection{Théorème de la limite centrale}
$X_1,X_2\ldots$ i.i.d. de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$, alors~:
$$\frac{S_n-\E
(S_n)}{\sqrt{Var(Sn)}}=\sqrt{n}\left(\frac{S_n-\mu}{\sigma}\right)\xrightarrow{\mathcal{L}}X$$
où $X$ suit une loi normale centrée réduite.

\subsection{Fonction caractéristique}
Soit $X$ une v.a.r absolument continue de densité $F_X$, alors 
$\varphi_X(t)=\E (\exp (itX))=\int_R\exp(itx)f_X(x)dx$
\begin{itemize}
\item si $Y=aX+b$, alors $\varphi_Y(t)=\exp(itb)\varphi_X(at)$
\item $\varphi_X(0)=1$
\item $|\varphi_X(t)|\leq1$
\item $\varphi_X(t)$ est uniformément continue sur $\R$
\end{itemize}
\begin{tabular}{|c||c|}
\hline
Lois & Fct caractéristiques\\
\hline
Bernoulli $B(p)$ & $pe^{it}+(1-p)$\\
\hline
Binomiale $B(n,p)$ & $(pe^{it}+(1-p))^n$\\
\hline
Poisson $P(\lambda)$ & $\exp(-\lambda(1-\exp{it}))$\\
\hline
Uniforme sur $[0,1]$ & $(1-\exp{it})/it$\\
\hline
Normale $N(\mu,\sigma^2)$ & $\exp(it\mu -\sigma^2 t^2/2)$\\
\hline
Exponentielle $E(\lambda)$ & $\lambda/(\lambda-it)$\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Slutsky}
Soient $(X_n),(Y_n),(Z_n)$ tel que
$X_n\xrightarrow{P}x,Y_n\xrightarrow{P}y$ et $Z_n\xrightarrow{\mathcal{L}}Z$,
alors $X_nZ_n+Y_n\xrightarrow{\mathcal{L}}xZ+y$


\section{Variables aléatoires vectorielles}
\subsection{Lois marginales}
$P_X(x)=P(X=x)=\sum_{Y\in E_Y}p_{X,Y}(x,y)$

\subsection{Espérance}
$\E [f(X,Y)]=\sum f(x,y)p_{X,Y}(x,y)$

\subsection{Covariance}
$Cov(X,Y)=\E [(X-\E [X])(Y-\E [Y])]$

Le coefficient de corrélation linéaire $\rho_{X,Y}$ défini par\\
$\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$
\begin{itemize}
\item $Cov(X,Y)=\E [XY]-\E [X]\E [Y]$
\item $Cov(X,X)=Var(X)$
\item $Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$
\item $Cov(aX+bY,Z)=aCov(X,Z)+bCov(Y,Z)$
\item $Cov(X,Y)=0$ si $X$ et $Y$ indépendants
\item $|\rho_{X,Y}|\leq 1$
\item $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$
\end{itemize}

\subsection{Densité marginale}
pour calculer $f_i(x)$ on fixe $x$ et on intègre $f_X(x_1\ldots x_n)$
par rapport aux autres variables. De plus
$F_i(x)=\int_{-\infty}^xf_i(y)dy$

\subsection{Transfo d'un v.a}
Soit $Y=g\circ X\Leftrightarrow Y(w)=g(X_1(w)\ldots X_n(w))$. On
intègre sur le nouveaux domaine pour trouver $f_Y(y)$ et $\E [Y]=\int g(x_i)f(x_i)dx_i$

\subsection{Transfo vectorielle}
$Y=g(X)$ vecteur aléatoire à valeur dans $F$, on a 

$f_Y(y_i)=f_X\circ g^{-1}(y_i)|DJ_{g^{-1}(y_i)}|1_F(y_i)$

\subsection{Loi de proba conditionnelle}
\begin{itemize}
\item cas discret~:
$\E [Y|X=x]=\sum_{Y\in E_Y}yP(Y=y|X=x)=\sum_{Y\in E_Y}yp_x(y)$
\item cas continu
$$F_{Y|X}(y|x)=\frac{1}{f_X(x)}\int_{-\infty}^yf(x,v)dv$$
$$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{f(x,y)}{\int_R f(x,v)dv}$$
où $f(x,y)$ est la densité conjointe du couple
$$\E [Y|X=x]=\int_R yf_{Y|X}(y|x)dy$$
$$Var[Y|X=x]=\int_R(y-\E [Y|X=x])^2f_{Y|X}(y|x)dy$$
$$=\int_Ry^2f_{Y|X}(y|x)dy-(\E [Y|X=x])^2$$
\end{itemize}

\subsection{Complément}
\begin{itemize}
\item $\E[\E [Y|X]]=\E [Y]$ espérance totale
\item $\E [Y|X]=\E [Y]$ si $X$ et $Y$ sont ind.
\item Lemme de Wald~: $\E [S_N]=\E [N]\E [X_1]$ où $S_N=\sum_{i=1}^N
X_i$ et $N$ v.a.d et ($X_1, X_2\ldots X_n$) iid
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{trucs utiles}
$\sum_{k=0}^n C_n^k a^k b^n =(a+b)^n$

$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^k}{k!}=e^x$

$\sum_{k=0}^n x^k=1+x+\ldots x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

$\sum_{i=1}^n i=1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{i=1}^n i^2=1+4+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{i=1}^n i^3=1+8+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{exos type}
\subsection{appli limite centrale 1}
$X_i, iid, \sim B(p), X=\sum X_i \sim B(n,p)$

$\begin{array}{rcl}
P(X\leq x) & = & P(\sum X_i\leq x)\\
 & = & P\displaystyle\left(\frac{\sum X_i}{n}\leq \frac{x}{n}\right)\\
& = & P\displaystyle\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sum X_i}{n}-\E\left(\displaystyle\frac{\sum
X_i}{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\displaystyle\frac{\sum X_i}{n}\right)}}\leq
\frac{\displaystyle\frac{x}{n}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{1}{n^2}\sum Var X_i}}\right)\\
& = &  P\displaystyle\left(\frac{Sn-\E\ Sn}{\sqrt{Var Sn}}\leq
\frac{x-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)\\
 & \simeq & \Phi\left(\displaystyle\frac{x-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)
\end{array}$

\subsection{appli limite centrale 2}
$X_i\sim U[-0,05 ; 0.05], \E X_i=0, Var X_i=\displaystyle\frac{0.1^2}{12}=\displaystyle\frac{5}{6000}$

$\begin{array}{rcl}
P\left(\left|\sum X_i\right|\leq 2\right) & = & P(-2\leq \sum X_i \leq
2)\\
 & = &
P\left(-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5/6}}\leq\displaystyle\frac{\sum
X_i}{\sqrt{5/6}}\leq\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5/6}}\right)\\
& \simeq & 2\Phi\left(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5/6}}\right)
\end{array}$


\subsection{Loi de poisson}
$X_i\sim B(p), \sum X_i \sim B(n,p)$, si $p\ll np\ll n$ alors on approxime
$\sum X_i$ par une loi de poisson de paramètre $\lambda=\E \sum X_i$,

exemple~: $p=0,001, n=5000$, on a $\lambda=\E\sum X_i=5$, on a donc~:

$\begin{array}{rcl}
P(\sum X_i\leq x) & = &
e^{-\lambda}\displaystyle\frac{\lambda^x}{x!}\\
P(\sum X_i\leq 2) & = & e^{-5}+5e^{-5}+\displaystyle\frac{5^2}{2!}e^{-5}=0,125
\end{array}$

\subsection{Loi de $X/Y$}
Soit $X$ et $Y$ indépendants de meme loi $U(0,1)$, loi de $X/Y$ ?

$f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=1_{[0,1]}(x)1_{[0,1]}(y)$

$P(X/Y\leq t)=\displaystyle\iint 1_{\{(x,y),x/y\leq t\}}$

On doit trouver le domaine d'integration, on trace la courbe $x=yt$ et
on intègre par morceau~:
\begin{itemize}
\item $t<1$

$P(X/Y\leq t)=\displaystyle\int_0^1\int_0^{yt}dxdy=\frac{1}{2}$

\item $t>1$

$P(X/Y\leq
t)=\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{t}}\int_0^{yt}dxdy+\int_{\displaystyle\frac{1}{t}}^1\int_0^{yt}dxdy=1-\frac{1}{2t}$
\end{itemize}

\subsection{Variance, covariance}
Soient $Y_1,Y_2,Y_3,Y_4$ ind. $\sim B(p)$, on pose $X_i=Y_iY_{i+1}$
\begin{enumerate}
\item Loi de $X_i$

$\begin{array}{rcl}
P(X_i=1) & = & P(Y_iY_{i+1}=1)\\
 & = & P(Y_i=1; Y_{i+1}=1)\\
 & = & p^2
\end{array}$

donc $X_i\sim B(p^2)\Longrightarrow \E [X_i]=p^2, Var(X_i)=p^2-p^4$

\item $\E [X_iX_{i+1}], Cov(X_iX_{i+1})$ ?

$\E [X_iX_{i+1}] =  \E [Y_iY_{i+1}Y_{i+1}Y_{i+2}]=p^4$

$Cov(X_iX_{i+1})=\E [X_iX_{i+1}]-\E [X_i]\E [X_{i+1}]=0$

\item $Cov(X_1,X_3)=0$ car indépendants
\item $Var(X_1+X_2+X_3)=Var(X_1)+Var(X_2)+Var(X_3)+2Cov(X_1,X_2)+2Cov(X_1,X_3)+2Cov(X_2,X_3)=3(p^2-p^4)$
\end{enumerate}

\subsection{Min -- Max}
$X,Y$ ind $\sim U(0,1)$, $U=min(X,Y), V=max(X,Y)$
\begin{itemize}
\item $F_V(x)=P(V\leq x)=P(max(X,Y)\leq x)=P(X\leq x,Y\leq x)=F_X(x)F_Y(x)=F_X^2(x)$
\item $F_U(x)=1-P(min(X,Y)\geq x)=1-P(X\geq x)P(Y\geq x)=1-(1-P(X\leq x))(1-P(Y\leq x))=1-(1-F_X(x))^2$
\item $F_{U,V}=P(U\leq u,V\leq v)$

$F_{U,V}+P(U\geq u,V\leq v)=P(((U\leq u)\cup (U>u))\cap (V\leq v))=P(V\leq v)=F_V(v)$

$F_{U,V}=F_V(v)-P(U\geq u,V\leq v)=P(X\leq v, Y\leq u-(v-u)^2=v^2-(v-u)^2$

$F_U(u)=\lim_{v\rightarrow +\infty}F_{U,V}(u,v)$
\end{itemize}

\subsection{Loi des proba totales}
$X\sim N(0,1), Y=\varepsilon X$ où $\varepsilon$ est équidistribué sur $\{-1;1\}$, $F_Y(y)=F_X(y)$ ?

$\begin{array}{rcl}
P(Y\leq y) & = & P(\varepsilon X\leq y)\\
 & = & P(\varepsilon X\leq y|\varepsilon=-1)P(\varepsilon=-1)\\
 & & +P(\varepsilon X\leq y|\varepsilon=1)P(\varepsilon=1)\\
 & = & \frac{1}{2}P(- X\leq y|\varepsilon=-1)+\frac{1}{2}P(X\leq y|\varepsilon=1)\\
 & = & \frac{1}{2}[P(- X\leq y)+P(X\leq y)]\
\end{array}$

$=\frac{1}{2}(1-F_X(-y)+F_X(y))=F_X(y)$

$Cov(X,Y)=\E [XY]-\E [X]\E [Y]=\E [X\varepsilon X]=\E [X^2]\E [\varepsilon]=0$

$\begin{array}{rcl}
P(X+Y=0) & = & P(X+\varepsilon X=0)=P(X(1+\varepsilon)=0)\\
 & = & P((X=0)\cup (\varepsilon=-1))\\
 & = & P(X=0)+P(\varepsilon =-1)\\ & & -P(X=0,\varepsilon=-1)=1/2
\end{array}$

\subsection{Transfo vectorielle}
$(X,Y)$ vecteur aléatoire de loi uniforme sur $D$ le disque unité
\begin{enumerate}
\item $f_{X,Y}(x,y)=\displaystyle\frac{1}{\pi}1_D(x,y)$

$f_X(x)=\left(\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dy\right)1_{[-1,1]}(x)=\displaystyle\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}$

\item on pose $X=R\cos\theta$ et $Y=R\sin\theta$, on a donc déjà
$g^{-1}(R,\theta)=(X,Y)$

$f_{R,\theta}(R,\theta)=f_{X,Y}\circ
g(R,\theta)|D_{g(R,\theta)}|1_{\R^+}(R)1_{]-\pi,\pi[}(\theta)$

$|D_{g(R,\theta)}|=|R|$

$f_{R,\theta}(R,\theta)=\displaystyle\frac{1}{\pi}|R|1_D(R\cos\theta,R\sin\theta)1_{\R^+}(R)1_{]-\pi,\pi[}(\theta)$

on calcule les densités marginales :
\begin{itemize}
\item $f_\theta=\displaystyle\int_0^1
\displaystyle\frac{R}{\pi}dR1_{]-\pi,\pi[}(\theta)=\frac{1}{2\pi}1_{]-\pi,\pi[}$
\item $f_R=\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \displaystyle\frac{R}{\pi}
d\theta1_{[0,1]}(R)=2R1_{[0,1]}(R)$
\end{itemize}
\item on pose $Z=\displaystyle\frac{X}{X^2+Y^2}$

$\begin{array}{rcl}
\E [Z] & = & \displaystyle\iint\frac{x}{x^2+y^2}f_{X,Y}(x,y)dxdy\\
 & = & \displaystyle\iint
\frac{R\cos\theta}{R^2}f_{R,\theta}(R,\theta)|R|d\theta dR\\
 & = & \displaystyle\int_0^1\int_{-\pi}^\pi\displaystyle\frac{R}{\pi}\frac{R\cos\theta}{R^2}|R|d\theta dR=0
\end{array}$
\end{enumerate}

\subsection{Loi de proba conditionnelle 1}
Soit $f_{X,Y}(x,y)=\exp((-x/y)-y)/y1_{\R^+}(x)1_{\R^+}(y)$
\begin{enumerate}
\item calculer $f_{X|Y}(x|y)$

$\begin{array}{rcl}
f_{X|Y}(x|y) & = & \displaystyle\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}\\
 & = & \displaystyle\frac{f_{X,Y}(x,y)}{\displaystyle\int
f_{X,Y}(x,y)dx}\\
 & = & \exp(-x/y)/y1_{\R^+}(x)1_{\R^+}(y)
\end{array}$

\item calculer $\E [X|Y=y]$

$\E [X|Y=y]=\displaystyle\int xf_{X|Y}(x|y)dx=y1_{\R^+}(y)$

$\Longrightarrow\E [X|Y]=Y$
\end{enumerate}

\subsection{Loi de proba conditionnelle 2}
On a $f_{X|Y}(x|y)$ et $f_{Y}(y)$, on nous demande la loi de $Y$ en
$\{X=x\}$

$\begin{array}{rcl}
f_{Y|X}(y|x) & = & \displaystyle\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}\\
 & = &  \displaystyle\frac{f_{X,Y}(x,y)}{\displaystyle\int
f_{X,Y}(x,y)dy}\\
 & = & \displaystyle\frac{f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)}{\displaystyle\int f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)dy}

\end{array}$
\subsection{Loi de proba conditionnelle 3}
$X\sim P(\lambda),Y\sim P(\mu)\Rightarrow X+Y\sim P(\lambda+\mu)$
\begin{enumerate}
\item Calculer $\E [X|X+Y]$

$\begin{array}{rcl}
P(X=x|X+Y=z) & = & \displaystyle\frac{P(X=x,X+Y=z)}{P(Z=z)}\\
 & = & \displaystyle\frac{P(X=x,Y=z-X)}{P(Z=z)}\\
& = & \displaystyle\frac{P(X=x)P(Y=z-X)}{P(Z=z)}\\
\end{array}$


$=\displaystyle\sum_{x=0}^zx\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\frac{e^{-\mu}\lambda^{z-x}}{(z-x)!}\frac{(\lambda+\mu)^zz!}{e^{-(\lambda+\mu)}}$

$\begin{array}{cl}
= &
\left[\displaystyle\sum_{x=0}^zx\frac{z!}{x!(z-x)!}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^x\right]\left(\displaystyle\frac{\mu}{\lambda+\mu}\right)^z\\
= &
\left(\displaystyle\sum_{x=0}^zxC_z^xu^{x-1}\right)u\left(\displaystyle\frac{\mu}{\lambda+\mu}\right)^z\
ou\ u=\displaystyle\frac{\lambda}{\mu}\\
= &
z\left(1+\displaystyle\frac{\lambda}{\mu}\right)^{z-1}\displaystyle\frac{\lambda}{\mu}\left(\displaystyle\frac{\mu}{\lambda+\mu}\right)^z\\
= &
z\left(\displaystyle\frac{\lambda+\mu}{\mu}\right)^{z}\left(\displaystyle\frac{\mu}{\lambda+\mu}\right)\displaystyle\frac{\lambda}{\mu}\left(\displaystyle\frac{\mu}{\lambda+\mu}\right)^z\\
= & \displaystyle\frac{\lambda z}{\lambda+\mu}
\end{array}$

$\E [X|X+Y=z]=\displaystyle\sum_{x=0}^zxP(X=x|X+Y=z)$

$\E [X|X+Y]  = \displaystyle\frac{\lambda(X+Y)}{\lambda+\mu}$

\item $\E[\E [X|X+Y]]=\E [X]=\lambda$ (formule des espérances totales)

En
effet~: $\E\left(\displaystyle\frac{\lambda(X+Y)}{\lambda+\mu}\right)=\lambda\displaystyle\frac{\E
z}{\lambda+\mu}=\lambda$
\end{enumerate}

\subsection{Exo de synthèse}
Soient $X$ et $Y$ ind. de meme densité $f(x)=e^{-x}1_{[0,+\infty[}(x)$
\begin{enumerate}
\item Loi de $X+Y$ ?

$\begin{array}{rcl}
f_{X+Y}(t) & = & \displaystyle\int f_X(t-u)f_Y(u)du\\
 & = & 1_{R^+}(t)\displaystyle\int_0^t e^{t-u}e^udu\\
 & = & te^{-t}1_{R^+}(t)
\end{array}$
\item Fonction de répartition $G$ de $X/Y$, en déduire la densité $g$.

$\begin{array}{rcl}
P(X/Y\leq t) & = & \displaystyle\iint_{X/Y\leq t} f_{X,Y}dxdy\\
 & = & \displaystyle\int_0^{+\infty}\int_0^{yt}\displaystyle e^{-x}e^{-y}dxdy\\
 & = & \displaystyle\int_0^{+\infty}\displaystyle e^{-y}-e^{-y-yt}dy\\
 & = & \displaystyle\frac{t}{t+1}
\end{array}$

on trouvé le domaine d'intégration en traçant la courbe $x=yt$, on a
donc $G(t)=\displaystyle\frac{t}{t+1}1_{R^+}(t)$, on dérive
pour obtenir $g$

$g(t)=\displaystyle\frac{1_{R^+}(t)}{(t+1)^2}$

\item F.d.r de $X/Y,Y$, densité conjointe de $X/Y,Y$, retrouver $g$

$\begin{array}{rcl}
P(X/Y\leq t,Y\leq a) & = & \displaystyle\iint_{(X/Y\leq t,Y\leq a)}
f_{X,Y}dxdy\\
 & = & \displaystyle\int_0^a\displaystyle\int_0^{yt}e^{-x}e^{-y}dxdy\\
 & = & 1-e^{-a}-\displaystyle\frac{1-e^{-a(t+1)}}{t+1}
\end{array}$

on dérive pour obtenir la densité conjointe~:

$\begin{array}{rcl}
f_{X/Y,Y}(t,a) & = & \displaystyle\frac{\partial}{\partial
t}\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial
a}F_{X/Y,Y}(t,a)\right)\\
 & = & 1_{R^+}(t)1_{R^+}(a)ae^{-a(t+1)}
\end{array}$

on retrouve $g$~:

$g(t)=f_{X/Y}(t)=\displaystyle\int f_{X/Y,Y}(t,a)da$

\end{enumerate}


\end{document}