\documentclass[twocolumn]{article}

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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\newcommand{\iint}{\int\!\!\!\!\int}

\newcommand{\ud}{\, \mathrm{d}}

\newcommand{\grad}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,}

\newcommand{\rot}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,}

\newcommand{\iiint}{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}

\setlength{\columnseprule}{0.1pt}

\setmarginsrb{2cm}{2cm}{2cm}{2cm}{0cm}{0cm}{1cm}{0.5cm}

\begin{document}

\section{Analyse vectorielle}

\subsection{Produit scalaire, vectoriel et mixte}

$$
\overrightarrow{U_1} \cdot \overrightarrow{U_2} =
a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = \| \overrightarrow{U_1}\|
\|\overrightarrow{U_2}\| \cos \theta
$$
$$
\overrightarrow{U_1} \wedge \overrightarrow{U_2} = 
\left(
  \begin{array}{c}
    b_1 c_2 - c_1 b_2 \\
    c_1 a_2 - a_1 c_2 \\
    a_1 b_2 - b_1 a_2
  \end{array}
\right)
$$
$$
(\overrightarrow{U_1}, \overrightarrow{U_2} ,\overrightarrow{U_3}) =
(\overrightarrow{U_1} \wedge \overrightarrow{U_2}) \cdot \overrightarrow{U_3}
$$

\subsection{Gradient}

$$
\overrightarrow{grad}\,f(M)=
\left(
  \begin{array}{c}
    \frac{\partial f}{\partial x} \\
    \frac{\partial f}{\partial y} \\
    \frac{\partial f}{\partial z}
  \end{array}
\right)
$$
$$
\overrightarrow{grad}\,(fg) =
f\, \overrightarrow{grad}\,g + g\, \overrightarrow{grad}\,f
$$
$$
\overrightarrow{grad}\,f(r,\theta) = \frac{\partial f}{\partial r}
\overrightarrow{u} +
\frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \overrightarrow{v}
$$

\subsection{Rotationnel}

$$
\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{V}(M)=
\overrightarrow{rot}\left(
  \begin{array}{c}
    P(M)\\
    Q(M)\\
    R(M)
  \end{array}
\right) =
\left(
  \begin{array}{c}
    \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\\
    \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\\
    \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}
  \end{array}
\right)
$$
$$
\overrightarrow{rot}(f\,\overrightarrow{V}) =
f\,\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{V} +
\overrightarrow{grad}\,f \wedge \overrightarrow{V}
$$

\subsection{Divergence}

$$
div\,\overrightarrow{V} =
\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} +
\frac{\partial R}{\partial z}
$$
$$
div(f\,\overrightarrow{V}) =
f\,div\,\overrightarrow{V} +
\overrightarrow{grad}\,f \cdot \overrightarrow{V}
$$
$$
div(\vec{V}_1 \wedge \vec{V}_2) = \vec{V}_2 \cdot \vec{rot}\,\vec{V}_1 -
\vec{V}_1 \cdot \vec{rot}\,\vec{V}_2
$$

\subsection{Laplacien}

$$
\Delta f(M) =
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = div(\overrightarrow{grad}\,f)
$$
$$
\overrightarrow{\Delta}\overrightarrow{V} =
\left(
  \begin{array}{c}
    \Delta P\\
    \Delta Q\\
    \Delta R
  \end{array}
\right)
$$

En coordonnées polaires ($g(r,\theta) = f(r\,\cos\theta, r\,\sin\theta)$) :
$$
\Delta f(M) = \frac{\partial^2 g}{\partial r^2} + \frac{1}{r}
\frac{\partial g}{\partial r} + \frac{1}{r^2}
\frac{\partial^2 g}{\partial \theta^2}
$$

En coordonnées shérique :
$$
g(r,\theta,\phi) =
f(r\,\cos\phi\,\cos\theta, r\,\cos\phi\,\sin\theta, r\,\sin\phi)
$$

$$
\Delta f(M) = \frac{\partial^2 g}{\partial r^2} +
\frac{2}{r} \frac{\partial g}{\partial r} +
\frac{1}{r^2\cos^2 \phi} \frac{\partial^2 g}{\partial \theta^2} -
$$
$$
\frac{\tan \theta}{r^2} \frac{\partial g}{\partial \phi} +
\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 g}{\partial \phi}
$$

\subsection{Formule}

$$
\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,f) = 0
\qquad
div(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}) = 0
$$
$$
div(f\,\overrightarrow{grad}\,g - g\,\overrightarrow{grad}\,f) =
f\Delta g - g\Delta f
$$
$$
\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{V}) =
\overrightarrow{grad}(div\,\overrightarrow{V}) -
\overrightarrow{\Delta}\overrightarrow{V}
$$
$$
\overrightarrow{A} \wedge (\overrightarrow{B} \wedge \overrightarrow{C}) =
(\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{C}) \overrightarrow{B} -
(\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}) \overrightarrow{C}
$$
$$
div(f\,\overrightarrow{A}) =
f\,div\,\overrightarrow{A} + \overrightarrow{A}\,\overrightarrow{grad}\,f
$$
$$
div(\overrightarrow{grad}\,f) = \Delta f
$$
$$
div(f\,\overrightarrow{grad}\,g - g\,\overrightarrow{grad}\,f) =
f\Delta g - g \Delta f
$$
$$
div(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}) = 0
\qquad
\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A} =
\overrightarrow{grad}(div\,\overrightarrow{A}) -
\overrightarrow{\Delta}\overrightarrow{A}
$$
\begin{eqnarray*}
  \overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A} \wedge \overrightarrow{B}) &=&
  \overrightarrow{A}\,div\,\overrightarrow{B} -
  \overrightarrow{B}\,div\,\overrightarrow{A} + \\
  &&\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{grad}\,\overrightarrow{A} -
  \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{grad}\,\overrightarrow{B}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
  \overrightarrow{grad}(\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}) &=&
  \overrightarrow{A} \wedge \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B} +
  \overrightarrow{B} \wedge \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A} + \\
  && \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{grad}\,\overrightarrow{A} -
  \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{grad}\,\overrightarrow{B}
\end{eqnarray*}

\subsection{Champ dérivant d'un potentiel scalaire}

$\overrightarrow{V}$ dérive d'un potentiel scalaire si
$\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{V} = \overrightarrow{0}$,
c'est-à-dire si $\exists f$ tel que
$\overrightarrow{grad}\,f = \overrightarrow{V}$

\subsection{Champ dérivant d'un potentiel vecteur}

$\overrightarrow{V}$ dérive d'un potentiel vecteur si
$div\,\overrightarrow{V} = 0$, c'est-à-dire si
$\exists \overrightarrow{A}$ tel que
$\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A} =
\overrightarrow{V}$ ($\overrightarrow{A}$
deux fois continument dérivable)

\section{Courbes et surfaces}

\subsection{Coniques}

Elipse : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Hyperbole : $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ou
$- \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
asymptote aux droites $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$

\subsection{Etude de courbes paramétrées}

si $x(t) \rightarrow \infty$ et $y(t) \rightarrow \infty$ alors
\begin{itemize}
\item si $\frac{y(t)}{x(t)} \rightarrow \infty$ alors branche asymptotique
  de direction $Oy$ ;
\item si $\frac{y(t)}{x(t)} \rightarrow 0$ alors branche asymptotique de
  direction $Ox$ ;
\item si $\frac{y(t)}{x(t)} \rightarrow a$ alors
  \begin{itemize}
  \item si $y(t) - a\,x(t) \rightarrow \infty$ alors branche asymptotique
    de direction $y = a\,x + b$ ;
  \item si $y(t) - a\,x(t) \rightarrow b$ alors asympote à
    $y = a\,x + b$\footnote{attention : étude du signe de
      $y(t) - a\,x(t) - b$}.
  \end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{Courbes polaires}

Tangente : $\overrightarrow{T_0} = r'(\theta_0) \overrightarrow{u_0} +
r(\theta_0) \overrightarrow{v_0}$

$$
\left.
  \begin{array}{r}
    \theta \rightarrow \theta_0 \\
    r \rightarrow \infty
  \end{array}
\right\}
\Rightarrow \mbox{ asymptote : } y = x\,\tan \theta_0 +
\frac{l}{\cos \theta_0}
$$
avec 
$
\displaystyle
l = \lim_{\theta \rightarrow \theta_0} r(\theta)\sin(\theta - \theta_0)
$

Position de la courbe par rapport à l'asymptote : signe de
$r(\theta) \sin(\theta - \theta_0) - l$.

\section{Intégrale double}

\subsection{Fubini}

$$
\int\!\!\!\!\int_D f(x, y)\,dxdy =
\int_a^b \left( \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)\,dx \right) dy
$$

\subsection{Changement de variables}

\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
\begin{theoreme}[Changement de variables]
  Soient $\Delta$, $D$ deux ouverts born\'es quarrables de
  $\R^2$, $\Phi : \Delta \rightarrow D$ est un changement
  de variable de $\Delta$ sur $D$. On suppose que la fonction
  $(u, v) \mapsto J_\Phi (u, v)$ reste born\'ee sur
  $\Delta$. Supposons que $f : D \rightarrow \R$ une application continue
  sur $D = \Phi(\Delta)$, alors la fonction
  $(u, v) \mapsto f \circ \Phi(u, v)$ est integrable sur $\Delta$ et on a :
  $$
  \int\!\!\!\!\int_D f(x, y)dx dy =
  $$
  $$
  \int\!\!\!\!\int_\Delta f(\alpha(u, v), \beta(u, v)) |J_\Phi(u, v)| du dv
  $$
\end{theoreme}
avec :
$$
J_\Phi(u, v) = \frac{\partial \alpha}{\partial u}(u, v)
\frac{\partial \beta}{\partial v}(u, v) -
\frac{\partial \alpha}{\partial v}(u, v)
\frac{\partial \beta}{\partial u}(u, v) =
$$
$$
\left|
  \begin{array}{cc}
    \frac{\partial \alpha}{\partial u}  &  \frac{\partial \alpha}{\partial v} \\
    \frac{\partial \beta}{\partial u}   &  \frac{\partial \beta}{\partial v}
  \end{array}
\right|
$$

\section{Intégrale triple}

\subsection{Méthode des bâtonnets (Fubini)}

Par le même raisonnement qu'en intégrale double :
$$
\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_D f(x, y, z)dx dy dz =
$$
$$
\int\!\!\!\!\int_A \left( \int_{\phi_1(x, y)}^{\phi_2(x, y)}
  f(x, y, z) dz \right) dx dy
$$ 

\subsection{Méthode des tranches}

Pour un volume borné en $a$ et en $b$ sur $z$, on a :
$$
\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_D f(x, y, z)dx dy dz =
\int_a^b \left( \int\!\!\!\!\int_{D_z} f(x, y, z) dx dy \right) dz
$$
Ce qui revient à dire, en parlant en aire et en volume :
$$
{\cal V}(D) = \int_a^b {\cal A}(D_z) dz
$$

\subsection{Changement de variables}

\begin{theoreme}[Changement de variables]
  Soient $\Delta$, $D$ deux ensembles born\'es et cubables de
  $\R^3$, $\Phi : \Delta \rightarrow D$ est un changement
  de variable de $\Delta$ sur $D$. On suppose que la fonction
  $(u, v, w) \mapsto J_\Phi (u, v, w)$ reste born\'ee sur
  $\Delta$. Supposons que $f : D \rightarrow \R$ une application continue
  sur $D = \Phi(_\Delta)$, alors la fonction
  $(u, v, w) \mapsto f \circ \Phi(u, v, w)$ est integrable sur $\Delta$ et
  on a :
  \begin{eqnarray*}
    \lefteqn{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_D f(x, y, z) dx dy dz =}\\
    && \int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_\Delta f(\alpha(u, v, w),
    \beta(u, v, w), \gamma(u, v, w))\\
    && |J_\Phi(u, v, w)| du dv dw
  \end{eqnarray*}
\end{theoreme}
avec :
$$
J_\Phi(u, v, w) =
\left( \frac{\partial \Phi}{\partial u}, \frac{\partial \Phi}{\partial v},
  \frac{\partial \Phi}{\partial w} \right) =
\left|
  \begin{array}{ccc}
    \frac{\partial \alpha}{\partial u}  &  \frac{\partial \alpha}{\partial v}  &  \frac{\partial \alpha}{\partial w} \\
    \frac{\partial \beta}{\partial u}   &  \frac{\partial \beta}{\partial v}   &  \frac{\partial \beta}{\partial w}  \\
    \frac{\partial \gamma}{\partial u}  &  \frac{\partial \gamma}{\partial v}  &  \frac{\partial \gamma}{\partial w}
  \end{array}
\right|
$$
Pour le passage aux coordonnées cylindriques :
$$
J_\Phi(r, \theta, z) = r
$$
Pour le passage aux coordonnées sphériques :
$$
J_\Phi(r, \theta, \phi) = r^2 \cos \phi
$$

\section{Intégrale curviligne --- Théo\-rème de Green-Riemann}


\subsection{Abscisse curviligne}


\subsubsection{Abscisse curviligne --- définition}

$$
s(t) = \varepsilon \int_{t_0}^t \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)}\ud u
$$
$$
\widetilde{M_1 M_2} = \left\| \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)
    + z'^2(t)}\ud u \right\|
$$

En polaire :
$$
\widetilde{M_1 M_2} = \left\| \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\rho^2(u)
    + \rho'^2(u)} \ud u \right\|
$$

\subsubsection{Calcul de masse d'un fil}

\begin{theoreme}[masse d'un fil]
  Soit $\cal C$ une courbe d'extrémité $A$ et $B$ paramétrée par
  $\left( x(t), y(t), z(t) \right)$, on suppose que $x, y, z$ sont
  dérivable. On note $\tilde{u}(t)$ la masse linéique, alors la masse $m$
  de $\cal C$ vaut :
  $$
  m = \left\| \int_{t_A}^{t_B} \tilde{u}(t) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) +
      z'^2(t)}\ud t \right\|
  $$
\end{theoreme}


\subsubsection{Vecteur tangent unitaire}

\newtheorem{prop}{Proposition}
\begin{prop}
  Soit $\cal C$ une courbe munie d'une abscisse curviligne $s$ (donc d'une
  orientation), on note $x^*(s), y^*(t), z^*(t)$ les coordonnées des
  points de $\cal C$ en fonction de $s$, alors $\vec{t}^* =
  \left(
    \begin{array}{c}
      \frac{\ud x^*}{\ud t} \\
      \frac{\ud y^*}{\ud t} \\
      \frac{\ud z^*}{\ud t}
    \end{array}
  \right)$ est le vecteur tangent à $\cal C$ en $M(s)$, unitaire et dirigé
  dans le sens de $\cal C$.
\end{prop}

\subsection{Circulation d'un champ de vecteur}

\subsubsection{Travail d'un champ de force}

\begin{eqnarray*}
  W_{\stackrel{\leadsto}{AB}}(\vec{F}) & = & \int_{S_A}^{S_B}
  \left(
    P\left(x^*(s), y^*(t), z^*(t)\right)\frac{\ud x^*}{\ud s} +
  \right. \\
  & &  Q\left(x^*(s), y^*(t), z^*(t)\right)\frac{\ud y^*}{\ud s} + \\
  & &  \left.R\left(x^*(s), y^*(t), z^*(t)\right)\frac{\ud z^*}{\ud s}
  \right) \ud s
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Circulation d'un champ de vecteur}

Comme pour le travail d'un champ de force ou :
\begin{eqnarray*}
  W_{\stackrel{\leadsto}{AB}}(\vec{F}) &=& \int_{t_A}^{t_b}
  \left( 
    P\left(x(t), y(t), z(t)\right) x'(t) +\right. \\
  && Q \left(x(t), y(t), z(t)\right) y'(t) +\\
  && \left. R\left(x(t), y(t), z(t)\right) z'(t)
  \right) \ud t
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Champ de vecteur dérivant d'un potentiel}

\begin{theoreme}
  Si le champ de vecteur $\vec V$ dérive d'un potentiel $f$ alors la
  circulation de ce champ de vecteur le long du segment curviligne
  $\stackrel{\leadsto}{AB}$ est égale à $f(B) - f(A)$.
\end{theoreme}

\subsection{Théorème de Green-Riemann}

\begin{theoreme}
  Soit $\cal D$ une partie de $\R^2$ limitée par une courbe
  \emph{fermée, sans point double, parcourue dans le sens direct},
  notée $Gamma$. Soient deux fonctions $P$ et $Q$ qui admettent des
  dérivées partielles premières continues sur D, alors on a :
  $$
  \oint_\Gamma (P\ud x + Q\ud y) = \iint_{\cal D}
  \left(
    \frac{\partial Q}{\partial x}(x, y) -
    \frac{\partial P}{\partial y}(x, y)
  \right)\ud x \ud y
  $$
\end{theoreme}

Pour le calcul d'aire :
$$
\mathcal{A(D)} = \frac{1}{2}
\oint_{\Gamma(t)} \left( x(t) \ud y(t) - y(t) \ud x(t)t \right)
$$
En polaire :
$$
\mathcal{A(D)} =
\frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \rho^2(\theta) \ud \theta
$$

                                % Integrale curviligne d'une forme différentielle ???

\section{Integrale de surface}

\subsection{Aire d'une surface}

\subsubsection{Cas générale}

\begin{theoreme}
  $\mathcal{S}$ est une surface paramétrée par
  \begin{math}
    \left\{
      \begin{array}{l}
        x = a(u, v) \\
        y = b(u, v) \\
        z = c(u, v)
      \end{array},
    \right. (u, v) \in \Delta \subset \R^2
  \end{math}
  o\`u $a, b, c$ sont des fonctions différentiables. On note :
  \begin{eqnarray*}
    \sigma(u, v) &=& \| \vec T_u (u, v) \wedge \vec T_v (u, v) \\
    &=&
    \left\|
      \left(
        \begin{array}{c}
          \frac{\partial a}{\partial u}(u, v) \\
          \frac{\partial b}{\partial u}(u, v) \\
          \frac{\partial c}{\partial u}(u, v)
        \end{array}
      \right)
      \wedge
      \left(
        \begin{array}{c}
          \frac{\partial a}{\partial v}(u, v) \\
          \frac{\partial b}{\partial v}(u, v) \\
          \frac{\partial c}{\partial v}(u, v)
        \end{array}
      \right)
    \right\|
  \end{eqnarray*}
  alors
  \begin{math}
    \displaystyle
    \mathcal{A(S)} = \iint_\Delta \sigma(u, v)\ud u \ud v
  \end{math}
\end{theoreme}

\subsubsection{\'Equation explicite}

\begin{displaymath}
  z = \varphi (x, y), \qquad
  p = \frac{\partial \varphi}{\partial x}(u, v), \qquad
  q = \frac{\partial \varphi}{\partial y}(u, v), \qquad
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
  \sigma = \sqrt{1 + p^2 + q^2}
\end{displaymath}
donc 
\begin{math}
  \displaystyle
  \mathcal{A(S)} = \iint_\mathcal{D} \sigma(x, y) \ud x \ud y
\end{math}\\
ou
\begin{math}
  \displaystyle
  \mathcal{A(S)} = \iint_\mathcal{D} \frac{1}{\cos \gamma} \ud x \ud y
\end{math},
avec $\cos \gamma$ la 3\ieme composante de
\begin{math}
  \displaystyle
  \vec n = \frac{1}{\sigma (x, y)}
  \left(
    \begin{array}{c}
      - \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x, y) \\
      - \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x, y) \\
      1
    \end{array}
  \right)
\end{math}

\subsection{Int\'egrale de surface}

\begin{displaymath}
  \iint_\mathcal{S} f \ud s =
  \iint_\mathcal{D} f(x, y, \varphi(x, y) \sigma(x, y) \ud x \ud y
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
  x_G = \frac{1}{m} \iint_\mathcal{S} x µ \ud s ,
  \qquad
  M = \iint_\mathcal{S} µ d^2(M, \Delta) \ud s
\end{displaymath}

\subsection{Flux d'un champ de vecteurs à travers une surface}

Cas général :
\begin{displaymath}
  \Phi_\mathcal{S}(\vec V) = \iint_\mathcal{S}\vec V \cdot
  \vec n \ud \sigma
\end{displaymath}

Cas d'une fonction sous forme implicite :
\begin{eqnarray*}
  \Phi_\mathcal{S}(\vec V) &=& \varepsilon \iint_\mathcal{D}
  \left(- p(x, y) \tilde V_1(x, y) \right.\\
  && - q(x, y) \tilde V_2(x, y) + \left.\tilde V_3(x, y)\right)
  \ud x \ud y
\end{eqnarray*}
avec $\tilde V_n(x, y) = V_n\left(x, y, \varphi(x, y)\right)$.

\section{Théorèmes integraux}

Stokes 0 :
\begin{displaymath}
  f(B) - f(A) = \oint_\gamma \grad f \cdot \ud \vec \ell
\end{displaymath}

\begin{theoreme}[Stokes-Ampère (Stokes 1)]
  Soit $\mathcal{S}$ une surface de $\R^3$ orientée par le choix d'un
  champ de normales $\vec n$.

  Le bord de $\mathcal{S}$ est une courbe fermée $\Gamma$.

  La courbe $\Gamma$ et la surface $\mathcal{S}$ sont orientée de
  fa\c{c}on cohérente.

  $\vec V$ et un champ de vecteurs dont les composantes $V_1, V_2, V_3$
  sont continument différentiables.

  Alors le flux du rotationnel de $\vec V$ à travers la surface
  $\mathcal{S}$ est égale à la circulation de $\vec V$ le long de la
  courbe $\Gamma$, c'est-à-dire
  \begin{displaymath}
    \iint_\mathcal{S} \rot \vec V \cdot \vec n \ud \sigma =
    \oint_\Gamma \vec v \cdot \overrightarrow{\ud \ell}
  \end{displaymath}
\end{theoreme}

\begin{theoreme}[Gauss-Ostrogradski (Stokes 2)]
  Soit $\mathcal{V}$ un domaine de $\R^3$ limité par une surface fermée
  $\mathcal{S}$ orientée vers l'extérieur de $\mathcal{V}$ et soit
  $\vec V$ un champ de vecteurs dont la divergence est une fonction
  continue, alors
  \begin{displaymath}
    \iiint_\mathcal{V} \mathrm{div}\,\vec V \ud x \ud y \ud z =
    \iint_\mathcal{S} \vec V \cdot \vec n \ud \sigma
  \end{displaymath}
\end{theoreme}

\section{Formules de trigonométrie}

$$\cos(a + b) = \cos a \, \cos b - \sin a \, \sin b$$
$$\sin(a + b) = \sin a \, \cos b + \sin b \, \cos a$$
$$\cos(a - b) = \cos a \, \cos b + \sin a \, \sin b$$
$$\sin(a - b) = \sin a \, \cos b - \sin b \, \cos a$$

$$\cos 2a = 2 \cos^2 a -1$$
$$\cos 2a = 1 - 2 \sin^2 a$$
$$\sin 2a = 2 \cos a \, \sin a$$

$$2 \sin a \, \cos b = \sin(a + b) + \sin(a - b)$$
$$1 + \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a}$$

\section{Fonction trigonométrique inverse}

$$
\frac{\ud}{\ud x} \left( \arctan f(x) \right) = \frac{f'(x)}{f(x)^2 + 1}
$$
$$
\frac{\ud}{\ud x} \left( \arccos f(x) \right) =
\frac{- f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}}
$$
$$
\frac{\ud}{\ud x} \left( \arcsin f(x) \right) =
\frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}}
$$

\end{document}